Programme : thème 3 « Une histoire du vivant » (3.4).
Prédire l'effectif d'une population (et les ressources)
est un enjeu de développement durable.
Démarche : choisir un modèle, calculer, puis
contrôler sa validité.
THÈME 3.4 | MODE D'EMPLOI
À noter = dans le cahier
Comment suivre
À noter
J'écoute
À faire
À vivre
Calculatrice ou tableur utiles pour les activités (doublement, tendances).
THÈME 3.4 | PLAN
J'écoute
Plan de la séance
Modèle linéaire (variation absolue ≈ constante)
Modèle exponentiel (taux ≈ constant)
Choisir le modèle à partir de données
Malthus : natalité, mortalité, doublement
Limites et validité (ressources, ~10 milliards)
I | DÉMARCHE
À noter
1Modéliser, c'est choisir
IDÉE CLÉ
Un modèle mathématique simplifie le réel pour
prédire.
On choisit le type de modèle, on calcule, puis on compare aux données.
Cas discret (années \(n = 0, 1, 2, \ldots\)) : suites arithmétiques et géométriques.
I | SCHÉMA
J'écoute
Trois étapes
II | LINÉAIRE
À noter
2Variation absolue ≈ constante
DÉFINITION
La variation absolue par unité de temps
est \(u_{n+1} - u_n\).
Si elle est presque constante, le nuage de points évoque une
droite.
SUITE ARITHMÉTIQUE
\(u_{n+1} = u_n + r\)
soit
\(u_n = u_0 + n\,r\)
(modèle dit linéaire).
II | SCHÉMA
J'écoute
Nuage ≈ droite
III | EXPONENTIEL
À noter
3Taux d'évolution ≈ constant
DÉFINITION
La variation relative
(taux d'évolution) par unité de temps est
\(\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}\).
Si elle est presque constante, le nuage évoque une
exponentielle.
SUITE GÉOMÉTRIQUE
\(u_{n+1} = q\,u_n\)
soit
\(u_n = u_0\,q^n\)
(modèle dit exponentiel).
III | SCHÉMA
J'écoute
Nuage ≈ exponentielle
III | ACTIVITÉ
À faire
Choisir le modèle (4 min)
Année \(n\)
0
1
2
3
Effectif \(u_n\)
1000
1100
1210
1331
Calculez les variations absolues et les taux. Linéaire ou exponentiel ?
CORRECTION
Absolues : \(+100\), \(+110\), \(+121\) (pas constantes).
Taux : \(+10\%\) à chaque pas → exponentiel
(\(q = 1{,}1\)).
IV | MALTHUS
À noter
4Le modèle de Malthus
IDÉE CLÉ
Modèle exponentiel de l'effectif :
taux de natalité \(b\), taux de mortalité \(d\).
Raisonnement discret année par année.
FORMULE
\(q = 1 + b - d\)
puis
\(u_n = u_0\,q^n\).
IV | CONSÉQUENCES
À noter
Croissance ou décroissance
SI \(b > d\)
Alors \(q > 1\) : l'effectif
croit vers l'infini
(selon le modèle).
SI \(b < d\)
Alors \(q < 1\) : l'effectif
décroît vers 0.
IV | ACTIVITÉ
À faire
Prévoir \(u_n\) (3 min)
DONNÉES
\(u_0 = 8000\), \(b = 0{,}03\), \(d = 0{,}01\).
Quel effectif après 10 ans ?
Sur un temps court,
les prédictions peuvent être correctes.
Sur un temps long, elles sont irréalistes :
les ressources disponibles ne suivent pas une croissance exponentielle illimitée.
V | SCHÉMA
J'écoute
Population vs ressources
V | SAVOIR-FAIRE
À faire
Comparer à une ressource
À partir de documents (blé, riz…), proposer un modèle
de croissance des ressources alimentaires.
Le comparer à une croissance
exponentielle de population.
Discuter : sur quelle durée le scénario reste-t-il crédible ?
VI | VALIDITÉ
À noter
6Tester et peaufiner
Ajuster un nuage de points par une
courbe de tendance
(calculatrice / tableur).
Comparer les valeurs du modèle aux
données réelles.
Des modèles plus élaborés prévoient environ
10 milliards d'humains en 2050.
VI | HISTOIRE
J'écoute
Au-delà de Malthus
PISTES
Quetelet, Verhulst (logistique),
Lotka-Volterra, Fibonacci…
Des modèles pour d'autres dynamiques (épidémies, etc.).
En 5 minutes : un modèle utile n'est pas forcément « vrai pour toujours ».
Quel critère de validité accepteriez-vous
pour une prévision démographique ?
THÈME 3.4 | BILAN
À noter
À retenir
Variation absolue ≈ constante → suite arithmétique (linéaire)
Taux ≈ constant → suite géométrique (exponentiel)
Malthus : \(u_n = u_0(1+b-d)^n\) ; doublement si \(q^n=2\)
Bon sur temps court ; irréaliste sur temps long (ressources)
Toujours : comparer modèle ↔ données (validité)
THÈME 3.4 | SUITE
J'écoute
Prochaine séance (programme)
THÈME 3.5 | DE TURING À L'IA
Machines, numérisation, apprentissage automatique, éthique…
Diaporama : cours 8.
Cours gratuit | Enseignement scientifique terminale | Lucas Tachen Migheli
Comment modéliser l'évolution d'une population ?
Thème 3.4 | Publié le
| Mis à jour le
Ce cours gratuit d'enseignement scientifique terminale (thème 3.4) enseigne à choisir entre modèle linéaire et exponentiel à partir de variations absolues ou relatives, à appliquer le modèle de Malthus, à calculer un temps de doublement, puis à discuter les limites liées aux ressources et la validité des prévisions.
Diaporama e-prof avec formules KaTeX et activités calculatrice / tableur. Par Lucas Tachen Migheli.